Central Limit Theorem
مبرهنة النهاية المركزية
التعريف
مبرهنة تنص على أن متوسط عدد كبير من المشاهدات المستقلة يقترب من توزيع طبيعي مهما كان توزيع البيانات الأصلي.
كلما كبر حجم العينة صار توزيع متوسطاتها أقرب إلى الطبيعي بانحراف معياري يتناقص بنسبة \(1/\sqrt{n}\). تبرر فترات الثقة واختبارات الفرضيات.
Definition
The central limit theorem states that the distribution of the sample mean of many independent, identically distributed variables approaches a normal distribution as sample size grows.
شرح مبسّط للمبتدئين
لو رميت نرداً مئة مرة وحسبت المتوسط مراراً، فستأخذ المتوسطات شكل الجرس.
شرح أكاديمي متخصص
\(\sqrt{n}(\bar X_n-\mu)/\sigma\xrightarrow{d}\mathcal N(0,1)\) بشرط تباين منتهٍ.
أمثلة عملية
- متوسطات عينات من توزيع منتظم تبدو جرسية.
التطبيقات والاستخدامات
- فترات الثقة.
- اختبارات الفرضيات.
المزايا
- أساس الاستدلال الإحصائي.
القيود والعيوب
- لا تصح مع تباين غير منتهٍ أو عينات صغيرة جداً.
