Singular Value Decomposition
تفكيك القيم المفردة
التعريف
تفكيك أي مصفوفة إلى جداء ثلاث مصفوفات: متعامدة، وقطرية بالقيم المفردة، ومتعامدة.
يكشف أهم اتجاهات المصفوفة ويتيح تقريباً منخفض الرتبة، فيُستخدم في PCA وضغط الصور وأنظمة التوصية ونماذج LSA. القيم المفردة الكبيرة تعني اتجاهات أهم.
Definition
Singular value decomposition factorises any matrix into orthogonal matrices and a diagonal matrix of singular values, enabling optimal low-rank approximation.
شرح مبسّط للمبتدئين
كتحليل صورة إلى طبقات مرتبة بحسب أهميتها، فتحتفظ بالأهم وتحذف الباقي.
شرح أكاديمي متخصص
تحقق مبرهنة Eckart–Young أن الاقتطاع إلى الرتبة k هو أفضل تقريب بمعيار فروبينيوس.
أمثلة عملية
- ضغط صورة بأهم 20 قيمة مفردة.
التطبيقات والاستخدامات
- PCA والتوصية.
المزايا
- تفكيك عام ومستقر عددياً.
القيود والعيوب
- كلفة عالية للمصفوفات الضخمة.
المعادلات الرياضية
SVD
A=U\,\Sigma\,V^{\top}U وV متعامدتان وΣ قطرية قيمها المفردة مرتبة تنازلياً.
| الرمز | المعنى |
|---|---|
| \(A\) | المصفوفة |
| \(U, V\) | مصفوفتان متعامدتان |
| \(\Sigma\) | القيم المفردة |
