الدرس 1 من 10 · الاحتمالات والإحصاء

مبادئ الاحتمال Basic Probability

فضاء العينة والأحداث ومسلّمات الاحتمال وقواعد الجمع والمتممة، مع العد الأساسي؛ وهي اللغة التي يعبّر بها النموذج عن عدم اليقين.

رياضيات التعلم الآلي الصعوبة: مبتدئ زمن الدراسة: 35 دقيقة
محتويات الدرس
  1. مقدمة
  2. لماذا ندرس هذا الموضوع؟
  3. الشرح النظري
  4. التعريفات الرياضية
  5. المعادلات
  6. مثال محلول
  7. التطبيق في الذكاء الاصطناعي
  8. المختبر التفاعلي
  9. تمارين تدريبية
  10. الملخص
  11. اختبار قصير
  12. دروس مرتبطة

1 مقدمة

الاحتمال (Probability) عدد بين 0 و1 يقيس درجة توقعنا لوقوع حدث. نبدأ بتجربة عشوائية، ونسمي مجموعة نتائجها الممكنة فضاء العينة \(\Omega\)، وكل مجموعة جزئية منه حدثاً.

الأهداف التعليمية

  • تحديد فضاء العينة والأحداث
  • تطبيق مسلّمات كولموغوروف
  • استخدام قاعدتي الجمع والمتممة
  • حساب الاحتمالات بالعد في الحالات المتساوية الاحتمال

2 لماذا ندرس هذا الموضوع؟

المصنف الحديث لا يقول "هذه قطة" فقط، بل "احتمال أنها قطة 0.93". ودوال الخسارة الأكثر استخداماً مشتقة من الاحتمالات، وتقييم النماذج نفسه (الدقة، الاستدعاء) نسب احتمالية تُقدَّر من البيانات.

3 الشرح النظري

المسلّمات

  1. \(P(A) \ge 0\) لكل حدث A.
  2. \(P(\Omega) = 1\).
  3. إذا كانت الأحداث متنافية مثنى مثنى فإن احتمال اتحادها مجموع احتمالاتها.

قواعد مشتقة

  • المتممة: \(P(A^c) = 1 - P(A)\).
  • الجمع: \(P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)\).
  • إذا كانت النتائج متساوية الاحتمال: \(P(A) = |A|/|\Omega|\).

العد

عدد طرق ترتيب \(n\) عنصراً \(n!\)، وعدد طرق اختيار \(k\) من \(n\) دون ترتيب \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\).

التفسير التكراري

إذا كررنا التجربة عدداً كبيراً من المرات فإن التكرار النسبي للحدث يقترب من احتماله (قانون الأعداد الكبيرة). وهذا ما يبرر تقدير الاحتمالات من بيانات التدريب.

4 التعريفات الرياضية

فضاء العينة
مجموعة كل النتائج الممكنة لتجربة عشوائية.
\[\Omega\]
الحدث
مجموعة جزئية من فضاء العينة.
\[A \subseteq \Omega\]
الحدثان المتنافيان
حدثان لا يمكن وقوعهما معاً.
\[A\cap B = \varnothing\]
الاحتمال (Probability)
دالة تعطي كل حدث عدداً بين 0 و1 وتحقق مسلّمات كولموغوروف، وتقيس درجة توقع وقوعه.
\[P(A)\in[0,1]\]

5 المعادلات

\[P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)\]
قاعدة الجمع
\[P(A^c) = 1 - P(A)\]
المتممة
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}\]
التوافيق

6 مثال محلول خطوة بخطوة

قاعدة الجمع

المسألة: في مجموعة بيانات بريد إلكتروني: 30% من الرسائل تحتوي كلمة "عرض"، و20% فيها رابط، و10% فيها الأمران. ما احتمال أن تحتوي رسالة على أحدهما على الأقل؟

  1. \(P(A) = 0.3\)، \(P(B) = 0.2\)، \(P(A\cap B) = 0.1\).
  2. \(P(A\cup B) = 0.3 + 0.2 - 0.1 = 0.4\).

النتيجة: \(0.4\)

العد

المسألة: نختار عشوائياً 2 من 5 نماذج لاختبارها. ما احتمال اختيار نموذجين محددين؟

  1. عدد الاختيارات \(\binom52 = 10\).
  2. اختيار واحد فقط يطابق الزوج المطلوب.

النتيجة: \(1/10 = 0.1\)

7 تطبيق عملي في الذكاء الاصطناعي

  • مخرجات المصنفات: طبقة Softmax تعطي توزيعاً احتمالياً على الفئات مجموعه 1.
  • تقدير الاحتمالات من البيانات: نسبة الرسائل المزعجة في بيانات التدريب تقدير لاحتمالها المسبق.
  • تقسيم البيانات: الاختيار العشوائي لعينات التحقق يعتمد على تساوي الاحتمالات.

8 مختبر تفاعلي مرتبط بالدرس

حاسبة الاحتمالات، والتوزيع الطبيعي والتوزيع ذو الحدين مع الرسم، والإحصاءات الوصفية (المتوسط والوسيط والمنوال والتباين والانحراف المعياري)، والارتباط، والمعاينة العشوائية، وحاسبة مبرهنة بايز.

افتح مختبر الاحتمالات والإحصاء

9 تمارين تدريبية

أسئلة مراجعة للتفكير

  • هل يمكن أن يكون حدثان متنافيين ومستقلين معاً؟ متى؟
  • كيف تقدّر احتمال فئة من بيانات غير متوازنة؟

أخطاء شائعة

  • جمع احتمالي حدثين غير متنافيين دون طرح التقاطع.
  • إعطاء احتمال أكبر من 1 أو سالب.
  • الخلط بين المتنافية والمستقلة.

تدرب على 5 أسئلة من بنك الأسئلة لهذا الدرس

10 ملخص الدرس

  • الاحتمال بين 0 و1، واحتمال فضاء العينة 1.
  • \(P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).
  • التكرار النسبي يقترب من الاحتمال مع كثرة التجارب.

11 اختبار قصير

5 أسئلة · 10 دقائق · النجاح من 60% — اجتيازه يُكمل الدرس.