الدرس 4 من 10 · الاحتمالات والإحصاء

المتغيرات العشوائية Random Variables

المتغير العشوائي يحوّل نتائج التجربة إلى أعداد؛ نميز المتقطع ودالة كتلته من المتصل ودالة كثافته، ونتعرف على دالة التوزيع التراكمي.

رياضيات التعلم الآلي الصعوبة: متوسط زمن الدراسة: 40 دقيقة
محتويات الدرس
  1. مقدمة
  2. لماذا ندرس هذا الموضوع؟
  3. الشرح النظري
  4. التعريفات الرياضية
  5. المعادلات
  6. مثال محلول
  7. التطبيق في الذكاء الاصطناعي
  8. المختبر التفاعلي
  9. تمارين تدريبية
  10. الملخص
  11. اختبار قصير
  12. دروس مرتبطة

1 مقدمة

المتغير العشوائي (Random Variable) دالة تعطي كل نتيجة من فضاء العينة عدداً. عدد الرؤوس في رميتين لعملة متغير عشوائي قيمه 0 و1 و2.

الأهداف التعليمية

  • التمييز بين المتغير المتقطع والمتصل
  • كتابة دالة الكتلة الاحتمالية ودالة الكثافة
  • استخدام دالة التوزيع التراكمي
  • فهم التوزيع المشترك والهامشي

2 لماذا ندرس هذا الموضوع؟

مخرجات النماذج ومعاملاتها وضوضاء البيانات كلها تُعامل متغيرات عشوائية. وتعريف دالة الخسارة كقيمة متوقعة، وتحليل التباين في التقديرات، يتطلبان هذه اللغة.

3 الشرح النظري

المتغير المتقطع

يأخذ قيماً معدودة، وتصفه دالة الكتلة الاحتمالية (PMF) \(p(x) = P(X = x)\) حيث \(\sum_x p(x) = 1\).

المتغير المتصل

يأخذ قيماً في فترة، وتصفه دالة الكثافة (PDF) \(p(x) \ge 0\) حيث \(\int p(x)\,dx = 1\). الكثافة ليست احتمالاً، وقد تزيد على 1، والاحتمال مساحة تحتها.

دالة التوزيع التراكمي

\(F(x) = P(X \le x)\)، وهي غير متناقصة من 0 إلى 1، وفي الحالة المتصلة \(F'(x) = p(x)\).

التوزيع المشترك والهامشي

لمتغيرين \(X, Y\) نصف سلوكهما معاً بـ \(p(x,y)\)، ونحصل على الهامشي بالجمع أو التكامل: \(p(x) = \sum_y p(x,y)\).

4 التعريفات الرياضية

المتغير العشوائي
دالة من فضاء العينة إلى الأعداد الحقيقية.
\[X: \Omega \to \mathbb{R}\]
دالة الكتلة الاحتمالية
احتمال كل قيمة لمتغير متقطع.
\[p(x) = P(X = x),\; \sum_x p(x) = 1\]
دالة التوزيع التراكمي
احتمال ألا يزيد المتغير على x.
\[F(x) = P(X\le x)\]
المتغير العشوائي (Random Variable)
دالة تحوّل نتائج تجربة عشوائية إلى أعداد، وتكون متقطعة أو متصلة.
\[X:\Omega\to\mathbb{R}\]
دالة الكثافة الاحتمالية (Probability Density Function)
دالة غير سالبة تكاملها 1، ويُحسب الاحتمال بتكاملها على فترة.
\[P(a\le X\le b)=\int_a^b p(x)dx\]
دالة الكتلة الاحتمالية (Probability Mass Function)
دالة تعطي احتمال كل قيمة لمتغير متقطع، ومجموعها 1.
\[p(x)=P(X=x)\]

5 المعادلات

\[\sum_x p(x) = 1,\quad \int_{-\infty}^{\infty} p(x)\,dx = 1\]
شرط التطبيع
\[P(a \lt X \le b) = F(b) - F(a)\]
الاحتمال من التراكمية
\[p(x) = \sum_y p(x, y)\]
التوزيع الهامشي

6 مثال محلول خطوة بخطوة

عدد الرؤوس في رميتين

المسألة: X عدد الرؤوس في رميتين لعملة منتظمة. اكتب دالة الكتلة و\(F(1)\).

  1. النتائج المتساوية: HH, HT, TH, TT.
  2. \(p(0) = 1/4\)، \(p(1) = 2/4\)، \(p(2) = 1/4\)، والمجموع 1.
  3. \(F(1) = p(0) + p(1) = 0.75\).

النتيجة: \(p = (0.25, 0.5, 0.25)\) و\(F(1) = 0.75\)

7 تطبيق عملي في الذكاء الاصطناعي

  • مخرجات المصنف: تنبؤ المصنف متغير عشوائي متقطع على الفئات تصفه مخرجات Softmax.
  • الضوضاء في الانحدار: نفترض \(y = f(\mathbf{x}) + \varepsilon\) مع \(\varepsilon\) متغير عشوائي متصل.
  • النماذج التوليدية: النموذج التوليدي يتعلم توزيعاً مشتركاً أو شرطياً يمكن السحب منه.

8 مختبر تفاعلي مرتبط بالدرس

حاسبة الاحتمالات، والتوزيع الطبيعي والتوزيع ذو الحدين مع الرسم، والإحصاءات الوصفية (المتوسط والوسيط والمنوال والتباين والانحراف المعياري)، والارتباط، والمعاينة العشوائية، وحاسبة مبرهنة بايز.

افتح مختبر الاحتمالات والإحصاء

9 تمارين تدريبية

أسئلة مراجعة للتفكير

  • لماذا يمكن أن تزيد قيمة دالة الكثافة على 1؟
  • كيف تحصل على التوزيع الهامشي من جدول توزيع مشترك؟

أخطاء شائعة

  • تفسير قيمة الكثافة احتمالاً.
  • نسيان شرط أن مجموع دالة الكتلة 1.
  • الخلط بين المتغير العشوائي وقيمته المرصودة.

تدرب على 5 أسئلة من بنك الأسئلة لهذا الدرس

10 ملخص الدرس

  • المتغير العشوائي دالة من النتائج إلى الأعداد.
  • المتقطع له دالة كتلة، والمتصل دالة كثافة.
  • دالة التوزيع التراكمي تعطي \(P(X\le x)\).

11 اختبار قصير

5 أسئلة · 10 دقائق · النجاح من 60% — اجتيازه يُكمل الدرس.