الدرس 2 من 10 · الاحتمالات والإحصاء

الاحتمال الشرطي والاستقلال Conditional Probability

الاحتمال الشرطي يحدّث الاحتمال بعد معرفة معلومة جديدة، والاستقلال يعني أن المعلومة لا تغيّر شيئاً؛ ومنهما تُبنى قاعدة الضرب وقانون الاحتمال الكلي.

رياضيات التعلم الآلي الصعوبة: متوسط زمن الدراسة: 40 دقيقة
محتويات الدرس
  1. مقدمة
  2. لماذا ندرس هذا الموضوع؟
  3. الشرح النظري
  4. التعريفات الرياضية
  5. المعادلات
  6. مثال محلول
  7. التطبيق في الذكاء الاصطناعي
  8. المختبر التفاعلي
  9. تمارين تدريبية
  10. الملخص
  11. اختبار قصير
  12. دروس مرتبطة

1 مقدمة

الاحتمال الشرطي \(P(A\mid B)\) هو احتمال وقوع A إذا علمنا أن B وقع. المعرفة الإضافية تقلّص فضاء العينة إلى B.

الأهداف التعليمية

  • حساب الاحتمال الشرطي
  • تطبيق قاعدة الضرب
  • اختبار استقلال حدثين
  • تطبيق قانون الاحتمال الكلي

2 لماذا ندرس هذا الموضوع؟

كل تنبؤ تقريباً احتمال شرطي: النموذج اللغوي يقدّر احتمال الكلمة التالية بشرط الكلمات السابقة \(P(w_t \mid w_{\lt t})\)، والمصنف يقدّر \(P(y\mid\mathbf{x})\). وافتراض الاستقلال الشرطي هو ما يجعل مصنف Naive Bayes بسيطاً وسريعاً.

3 الشرح النظري

التعريف

\[P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(B) \gt 0\]

قاعدة الضرب

\(P(A\cap B) = P(A\mid B)P(B)\)، وتعمم إلى قاعدة السلسلة الاحتمالية: \(P(A_1,\dots,A_n) = \prod_i P(A_i\mid A_1,\dots,A_{i-1})\)، وهي الصيغة التي تُدرَّب بها النماذج اللغوية الانحدارية الذاتية.

الاستقلال

A وB مستقلان إذا كان \(P(A\cap B) = P(A)P(B)\)، أي \(P(A\mid B) = P(A)\). والاستقلال الشرطي بشرط C: \(P(A\cap B\mid C) = P(A\mid C)P(B\mid C)\).

قانون الاحتمال الكلي

إذا كانت \(B_1,\dots,B_k\) تجزئة لفضاء العينة: \(P(A) = \sum_i P(A\mid B_i)P(B_i)\).

4 التعريفات الرياضية

الاحتمال الشرطي
احتمال A بعد العلم بوقوع B.
\[P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]
الاستقلال
لا يغيّر وقوع أحد الحدثين احتمال الآخر.
\[P(A\cap B) = P(A)P(B)\]
الاحتمال الشرطي (Conditional Probability)
احتمال وقوع حدث بعد العلم بوقوع حدث آخر.
\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]
الاستقلال (Independence)
يكون الحدثان مستقلين إذا كان احتمال تقاطعهما حاصل ضرب احتماليهما.
\[P(A\cap B)=P(A)P(B)\]

5 المعادلات

\[P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]
التعريف
\[P(A) = \sum_{i} P(A\mid B_i)\,P(B_i)\]
الاحتمال الكلي
\[P(w_1,\dots,w_T) = \prod_{t=1}^{T}P(w_t\mid w_1,\dots,w_{t-1})\]
قاعدة السلسلة في النماذج اللغوية

6 مثال محلول خطوة بخطوة

احتمال كلي

المسألة: مصدران للبيانات: 60% من الصور من الكاميرا A ونسبة الضبابية فيها 5%، و40% من B ونسبة الضبابية 10%. ما احتمال أن تكون صورة عشوائية ضبابية؟

  1. \(P(\text{ضبابية}) = 0.05\cdot0.6 + 0.10\cdot0.4\).
  2. \(= 0.03 + 0.04 = 0.07\).

النتيجة: \(0.07\)

احتمال شرطي من جدول

المسألة: من 200 رسالة: 50 مزعجة، و40 منها تحتوي كلمة "مجاني"، و10 رسائل سليمة تحتويها. ما \(P(\text{مزعجة}\mid\text{مجاني})\)؟

  1. عدد الرسائل التي فيها الكلمة: \(40 + 10 = 50\).
  2. منها 40 مزعجة.
  3. \(P = 40/50\).

النتيجة: \(0.8\)

7 تطبيق عملي في الذكاء الاصطناعي

  • النماذج اللغوية: تولد النص كلمةً كلمة من \(P(w_t\mid\text{السياق})\).
  • Naive Bayes: يفترض استقلال الخصائص بشرط الفئة، فيصبح \(P(\mathbf{x}\mid y) = \prod_j P(x_j\mid y)\).
  • تقييم النماذج: الدقة الإيجابية (Precision) هي \(P(\text{موجب فعلاً}\mid\text{تنبأ موجب})\).

8 مختبر تفاعلي مرتبط بالدرس

حاسبة الاحتمالات، والتوزيع الطبيعي والتوزيع ذو الحدين مع الرسم، والإحصاءات الوصفية (المتوسط والوسيط والمنوال والتباين والانحراف المعياري)، والارتباط، والمعاينة العشوائية، وحاسبة مبرهنة بايز.

افتح مختبر الاحتمالات والإحصاء

9 تمارين تدريبية

أسئلة مراجعة للتفكير

  • لماذا يُعد افتراض Naive Bayes "ساذجاً"؟
  • أعط مثالاً من الطب يختلف فيه \(P(A\mid B)\) كثيراً عن \(P(B\mid A)\).

أخطاء شائعة

  • الخلط بين \(P(A\mid B)\) و\(P(B\mid A)\).
  • افتراض الاستقلال دون تحقق.
  • القسمة على \(P(A)\) بدلاً من \(P(B)\).

تدرب على 5 أسئلة من بنك الأسئلة لهذا الدرس

10 ملخص الدرس

  • الشرط يقلّص فضاء العينة.
  • الاستقلال: \(P(A\cap B) = P(A)P(B)\).
  • قاعدة السلسلة الاحتمالية أساس النماذج اللغوية.

11 اختبار قصير

5 أسئلة · 10 دقائق · النجاح من 60% — اجتيازه يُكمل الدرس.