الدرس 10 من 10 · الاحتمالات والإحصاء

الارتباط Correlation

معامل ارتباط بيرسون تغاير مطبّع بين −1 و1 يقيس قوة العلاقة الخطية واتجاهها؛ ونناقش حدوده والفرق بين الارتباط والسببية.

رياضيات التعلم الآلي الصعوبة: متوسط زمن الدراسة: 35 دقيقة
محتويات الدرس
  1. مقدمة
  2. لماذا ندرس هذا الموضوع؟
  3. الشرح النظري
  4. التعريفات الرياضية
  5. المعادلات
  6. مثال محلول
  7. التطبيق في الذكاء الاصطناعي
  8. المختبر التفاعلي
  9. تمارين تدريبية
  10. الملخص
  11. اختبار قصير
  12. دروس مرتبطة

1 مقدمة

معامل الارتباط (Correlation Coefficient) يزيل أثر الوحدات من التغاير بقسمته على حاصل ضرب الانحرافين المعياريين، فيعطي قيمة بين \(-1\) و\(1\).

الأهداف التعليمية

  • حساب معامل ارتباط بيرسون
  • تفسير قيمته وإشارته
  • معرفة حدوده (العلاقات غير الخطية، القيم الشاذة)
  • التمييز بين الارتباط والسببية

2 لماذا ندرس هذا الموضوع؟

نستخدم الارتباط لاستكشاف البيانات واختيار الخصائص واكتشاف الخصائص المكررة التي تسبب تعدد الخطية (Multicollinearity). ومعامل التحديد \(R^2\) في الانحدار الخطي البسيط يساوي مربع معامل الارتباط. ويحذّرنا الفرق بين الارتباط والسببية من استنتاجات خاطئة في تفسير النماذج.

3 الشرح النظري

التعريف

\[\rho_{XY} = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\,\sigma_Y},\qquad -1 \le \rho \le 1\]

وهو تشابه جيب التمام بين متجهي البيانات بعد توسيطهما.

التفسير

  • \(\rho = 1\): علاقة خطية طردية تامة.
  • \(\rho = -1\): علاقة خطية عكسية تامة.
  • \(\rho \approx 0\): لا علاقة خطية، وقد توجد علاقة غير خطية قوية.

حدود الارتباط

  • لا يلتقط العلاقات غير الخطية (مثل \(y = x^2\) على فترة متماثلة).
  • حساس للقيم الشاذة.
  • لا يدل على السببية: قد يكون متغير ثالث (مُربِك Confounder) سبباً للاثنين.

مصفوفة الارتباط

تطبيع مصفوفة التغاير بقسمة كل عنصر على حاصل ضرب الانحرافين المعياريين يعطي مصفوفة قطرها آحاد.

بيانات المثال وخط الانحدار؛ ρ ≈ 0.775

4 التعريفات الرياضية

معامل ارتباط بيرسون
تغاير متغيرين مقسوماً على حاصل ضرب انحرافيهما المعياريين.
\[\rho = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}\]
المتغير المُربِك
متغير ثالث يؤثر في المتغيرين معاً فيخلق ارتباطاً بينهما دون علاقة سببية مباشرة.
معامل الارتباط (Correlation Coefficient)
تغاير مطبّع بين −1 و1 يقيس قوة العلاقة الخطية واتجاهها دون تأثر بالوحدات.
\[\rho=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}\]

5 المعادلات

\[\rho_{XY} = \frac{\sum_i (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum_i (x_i-\bar x)^2}\sqrt{\sum_i (y_i-\bar y)^2}}\]
ارتباط العينة
\[R^2 = \rho^2\]
معامل التحديد في الانحدار البسيط

6 مثال محلول خطوة بخطوة

حساب الارتباط

المسألة: احسب معامل الارتباط بين \(x = (1,2,3,4,5)\) و\(y = (2,4,5,4,5)\).

  1. من الدرس السابق: \(\sum (x-\bar x)(y-\bar y) = 6\).
  2. \(\sum (x-\bar x)^2 = 10\) و\(\sum (y-\bar y)^2 = 4 + 0 + 1 + 0 + 1 = 6\).
  3. \(\rho = 6/\sqrt{60} \approx 0.7746\).

النتيجة: \(\rho \approx 0.7746\): علاقة طردية قوية نسبياً

7 تطبيق عملي في الذكاء الاصطناعي

  • اختيار الخصائص: الخصائص شديدة الارتباط ببعضها مكررة، ويمكن حذف بعضها.
  • تقييم الانحدار: مربع ارتباط التنبؤات بالقيم الحقيقية يقيس جودة النموذج الخطي.
  • الاستدلال السببي: الارتباط في بيانات رصدية لا يكفي لاستنتاج أثر تدخل ما؛ هذا موضوع مسار الاستدلال السببي.

8 مختبر تفاعلي مرتبط بالدرس

حاسبة الاحتمالات، والتوزيع الطبيعي والتوزيع ذو الحدين مع الرسم، والإحصاءات الوصفية (المتوسط والوسيط والمنوال والتباين والانحراف المعياري)، والارتباط، والمعاينة العشوائية، وحاسبة مبرهنة بايز.

افتح مختبر الاحتمالات والإحصاء

9 تمارين تدريبية

أسئلة مراجعة للتفكير

  • ارسم مثالاً ذهنياً لبيانات ارتباطها صفر وعلاقتها قوية.
  • كيف يمكن أن تؤدي قيمة شاذة واحدة إلى ارتباط مرتفع زائف؟

أخطاء شائعة

  • استنتاج السببية من الارتباط.
  • اعتبار الارتباط الصفري دليلاً على عدم وجود أي علاقة.
  • تجاهل أثر القيم الشاذة.

تدرب على 6 أسئلة من بنك الأسئلة لهذا الدرس

10 ملخص الدرس

  • الارتباط تغاير مطبّع بين −1 و1.
  • يقيس العلاقة الخطية فقط.
  • الارتباط لا يعني السببية.

11 اختبار قصير

5 أسئلة · 10 دقائق · النجاح من 60% — اجتيازه يُكمل الدرس.