الدرس 1 من 2 · الأسس واللوغاريتمات

الأسس والدالة الأسية Exponents and the Exponential Function

قوانين الأسس، والدالة الأسية \(e^x\) وخصائصها، والنمو والاضمحلال الأسي؛ وصولاً إلى دالة Softmax التي تحوّل الدرجات إلى احتمالات.

الأساسيات الرياضية الصعوبة: مبتدئ زمن الدراسة: 35 دقيقة
محتويات الدرس
  1. مقدمة
  2. لماذا ندرس هذا الموضوع؟
  3. الشرح النظري
  4. التعريفات الرياضية
  5. المعادلات
  6. مثال محلول
  7. التطبيق في الذكاء الاصطناعي
  8. المختبر التفاعلي
  9. تمارين تدريبية
  10. الملخص
  11. اختبار قصير
  12. دروس مرتبطة

1 مقدمة

الأس (Exponent) يختصر الضرب المتكرر: \(a^n = a\cdot a\cdots a\). والدالة الأسية \(e^x\)، حيث \(e \approx 2.71828\)، فريدة في أن مشتقتها تساويها.

الأهداف التعليمية

  • تطبيق قوانين الأسس
  • معرفة خصائص الدالة الأسية
  • حساب Softmax لمتجه صغير
  • فهم النمو والاضمحلال الأسي

2 لماذا ندرس هذا الموضوع؟

Softmax في مخرجات المصنفات والانتباه مبنية على \(e^{z}\). ومعدلات التعلم المتناقصة أسياً، والمتوسطات المتحركة الأسية في Adam والتطبيع بالدفعات، وكثافة التوزيع الطبيعي، كلها دوال أسية.

3 الشرح النظري

قوانين الأسس

القانونالصيغة
الضرب\(a^m a^n = a^{m+n}\)
القسمة\(a^m/a^n = a^{m-n}\)
القوة\((a^m)^n = a^{mn}\)
الأس الصفري\(a^0 = 1\)
الأس السالب\(a^{-n} = 1/a^n\)
الأس الكسري\(a^{1/n} = \sqrt[n]{a}\)

الدالة الأسية

\(e^x\) موجبة دائماً، متزايدة، و\(e^0 = 1\)، و\(e^{a+b} = e^a e^b\)، و\(\frac{d}{dx}e^x = e^x\).

النمو والاضمحلال

\(N(t) = N_0e^{kt}\): نمو إذا كان \(k \gt 0\) واضمحلال إذا كان \(k \lt 0\). والاضمحلال المتقطع \(\eta_t = \eta_0\gamma^t\) مع \(0 \lt \gamma \lt 1\) يصف جداول معدل التعلم.

Softmax

\[\operatorname{softmax}(\mathbf{z})_k = \frac{e^{z_k}}{\sum_{j} e^{z_j}}\]

الأس يجعل كل القيم موجبة، والقسمة تجعل مجموعها 1. وطرح الثابت نفسه من كل الدرجات لا يغير الناتج: \(\operatorname{softmax}(\mathbf{z} - c) = \operatorname{softmax}(\mathbf{z})\)، وهذه حيلة الاستقرار العددي.

النمو الأسي eˣ والاضمحلال الأسي e⁻ˣ

4 التعريفات الرياضية

الدالة الأسية
الدالة \(e^x\) التي مشتقتها تساويها وقيمتها عند الصفر 1.
\[e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\]
Softmax
دالة تحوّل متجه درجات إلى توزيع احتمالي.
\[\operatorname{softmax}(\mathbf{z})_k = e^{z_k}/\sum_j e^{z_j}\]
دالة Softmax (Softmax)
دالة تحوّل متجه درجات حقيقية إلى توزيع احتمالي باستخدام الأس ثم القسمة على المجموع.
\[\operatorname{softmax}(\mathbf{z})_k=\frac{e^{z_k}}{\sum_je^{z_j}}\]

5 المعادلات

\[a^m a^n = a^{m+n}\]
ضرب الأسس
\[\operatorname{softmax}(\mathbf{z})_k = \frac{e^{z_k}}{\sum_j e^{z_j}}\]
Softmax
\[\operatorname{softmax}(\mathbf{z} - c\mathbf{1}) = \operatorname{softmax}(\mathbf{z})\]
عدم التأثر بالإزاحة

6 مثال محلول خطوة بخطوة

حساب Softmax

المسألة: احسب Softmax للدرجات \(\mathbf{z} = (2, 1, 0.1)\).

  1. الأسس: \(e^2 \approx 7.3891\)، \(e^1 \approx 2.7183\)، \(e^{0.1} \approx 1.1052\).
  2. المجموع \(\approx 11.2125\).
  3. القسمة على المجموع.

النتيجة: \(\approx (0.659, 0.242, 0.099)\)، ومجموعها 1.

7 تطبيق عملي في الذكاء الاصطناعي

  • Softmax: تحويل لوجيتات المصنف ودرجات الانتباه إلى أوزان احتمالية.
  • المتوسط المتحرك الأسي: في Adam والتطبيع بالدفعات تتناقص أوزان القيم القديمة أسياً.
  • جداول معدل التعلم: التخفيض الأسي \(\eta_0\gamma^t\).

8 مختبر تفاعلي مرتبط بالدرس

رسم الدوال، وحساب المشتقة عددياً ورسم المماس، والمشتقات الجزئية والتدرج لدالة بمتغيرين، وعرض قاعدة السلسلة خطوة بخطوة، والتكامل العددي بطريقتي شبه المنحرف وسمبسون.

افتح مختبر التفاضل والتكامل

9 تمارين تدريبية

أسئلة مراجعة للتفكير

  • لماذا لا يغير طرح ثابت من كل الدرجات ناتج Softmax؟
  • ماذا يحدث لـ Softmax إذا ضربنا كل الدرجات في 10؟

أخطاء شائعة

  • كتابة \(a^m a^n = a^{mn}\).
  • الاعتقاد بأن \(a^{-n}\) سالب.
  • حساب Softmax مباشرة لقيم كبيرة فيحدث فيض؛ اطرح القيمة العظمى أولاً.

تدرب على 6 أسئلة من بنك الأسئلة لهذا الدرس

10 ملخص الدرس

  • \(a^ma^n = a^{m+n}\) و\((a^m)^n = a^{mn}\).
  • \(e^x\) موجبة ومشتقتها تساويها.
  • Softmax = أس ثم تطبيع.

11 اختبار قصير

5 أسئلة · 10 دقائق · النجاح من 60% — اجتيازه يُكمل الدرس.