الدرس 5 من 9 · الجبر الخطي

منقول المصفوفة Matrix Transpose

المنقول يبدّل الصفوف بالأعمدة؛ نتعرف على خصائصه، وعلى قاعدة منقول حاصل الضرب، وعلى دوره في كتابة الجداء النقطي ومصفوفة جرام والانتشار العكسي.

رياضيات التعلم الآلي الصعوبة: مبتدئ زمن الدراسة: 30 دقيقة
محتويات الدرس
  1. مقدمة
  2. لماذا ندرس هذا الموضوع؟
  3. الشرح النظري
  4. التعريفات الرياضية
  5. المعادلات
  6. مثال محلول
  7. التطبيق في الذكاء الاصطناعي
  8. المختبر التفاعلي
  9. تمارين تدريبية
  10. الملخص
  11. اختبار قصير
  12. دروس مرتبطة

1 مقدمة

منقول المصفوفة (Transpose) عملية بسيطة: الصف الأول يصبح العمود الأول، وهكذا. لكنها تظهر في كل معادلة تقريباً من معادلات التعلم الآلي.

الأهداف التعليمية

  • حساب منقول مصفوفة
  • تطبيق قاعدة \((AB)^\top = B^\top A^\top\)
  • التعرف على المصفوفات المتماثلة ومصفوفة جرام

2 لماذا ندرس هذا الموضوع؟

الجداء النقطي يُكتب \(\mathbf{a}^\top\mathbf{b}\)، والمعادلات الطبيعية للانحدار الخطي تحتوي \(X^\top X\)، وتدرج الأوزان في الانتشار العكسي يُحسب بضرب في المنقول \(W^\top\). وكذلك فإن مصفوفة الدرجات في الانتباه هي \(QK^\top\).

3 الشرح النظري

التعريف

إذا كانت \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\) فإن منقولها \(A^\top\in\mathbb{R}^{n\times m}\) حيث \((A^\top)_{ij} = a_{ji}\). والمتجه العمودي يصبح صفاً بالنقل.

الخصائص

  • \((A^\top)^\top = A\)
  • \((A+B)^\top = A^\top + B^\top\)
  • \((cA)^\top = cA^\top\)
  • \((AB)^\top = B^\top A^\top\) — لاحظ انعكاس الترتيب.

مصفوفة جرام

لأي مصفوفة \(X\)، المصفوفة \(X^\top X\) مربعة ومتماثلة، لأن \((X^\top X)^\top = X^\top X\). عناصرها جداءات نقطية بين أعمدة \(X\)، وتظهر في الانحدار الخطي وفي حساب التغاير.

4 التعريفات الرياضية

المنقول
المصفوفة الناتجة عن تبديل الصفوف بالأعمدة.
\[(A^\top)_{ij} = a_{ji}\]
مصفوفة جرام
حاصل ضرب منقول المصفوفة فيها، وهي متماثلة دائماً.
\[G = X^\top X\]
المنقول (Transpose)
المصفوفة الناتجة عن تبديل الصفوف بالأعمدة.
\[(A^\top)_{ij}=a_{ji}\]

5 المعادلات

\[(AB)^\top = B^\top A^\top\]
منقول حاصل الضرب
\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \mathbf{a}^\top\mathbf{b}\]
الجداء النقطي بالمنقول
\[\hat{\mathbf{w}} = (X^\top X)^{-1}X^\top\mathbf{y}\]
المعادلات الطبيعية للانحدار الخطي

6 مثال محلول خطوة بخطوة

منقول مصفوفة ومصفوفة جرام

المسألة: لتكن \(X = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 3 & -1\end{bmatrix}\). احسب \(X^\top\) و\(X^\top X\).

  1. المنقول: \(X^\top = \begin{bmatrix}1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1\end{bmatrix}\) (أبعاده 2×3).
  2. نضرب \((2\times3)(3\times2)\) فنحصل على 2×2.
  3. العنصر (1,1): \(1+0+9 = 10\)، والعنصر (1,2): \(2+0-3=-1\)، والعنصر (2,2): \(4+1+1=6\).

النتيجة: \(X^\top X = \begin{bmatrix}10 & -1 \\ -1 & 6\end{bmatrix}\)، وهي متماثلة كما هو متوقع.

7 تطبيق عملي في الذكاء الاصطناعي

  • الانحدار الخطي: الحل المغلق \((X^\top X)^{-1}X^\top\mathbf{y}\) يعتمد على المنقول.
  • الانتشار العكسي: إذا كان \(\mathbf{z}=W\mathbf{x}\) فإن تدرج الخسارة بالنسبة إلى \(\mathbf{x}\) هو \(W^\top\,\partial L/\partial\mathbf{z}\).
  • الانتباه: درجات الانتباه \(QK^\top/\sqrt{d_k}\) تستخدم منقول مصفوفة المفاتيح.

8 مختبر تفاعلي مرتبط بالدرس

عمليات المتجهات (الجمع والطرح والجداء النقطي والطول والمسافة وتشابه جيب التمام)، والعمليات المصفوفية (الجمع والضرب والمنقول والمحدد والمعكوس)، والقيم والمتجهات الذاتية، وتحليل القيم المنفردة SVD مع إعادة البناء بمرتبة أقل.

افتح مختبر الجبر الخطي

9 تمارين تدريبية

أسئلة مراجعة للتفكير

  • لماذا تكون \(X^\top X\) مربعة حتى لو كانت X مستطيلة؟
  • ما منقول متجه عمودي من البعد 5؟

أخطاء شائعة

  • كتابة \((AB)^\top = A^\top B^\top\) دون عكس الترتيب.
  • نسيان أن أبعاد المنقول معكوسة.

تدرب على 5 أسئلة من بنك الأسئلة لهذا الدرس

10 ملخص الدرس

  • المنقول يبدل الصفوف بالأعمدة.
  • \((AB)^\top = B^\top A^\top\).
  • \(X^\top X\) متماثلة دائماً.

11 اختبار قصير

5 أسئلة · 10 دقائق · النجاح من 60% — اجتيازه يُكمل الدرس.