الدرس 2 من 9 · الجبر الخطي

العمليات على المتجهات Vector Operations

جمع المتجهات وطرحها وضربها في عدد، والجداء النقطي والزاوية بين متجهين والمسافة، وتشابه جيب التمام المستخدم في البحث الدلالي.

رياضيات التعلم الآلي الصعوبة: مبتدئ زمن الدراسة: 40 دقيقة
محتويات الدرس
  1. مقدمة
  2. لماذا ندرس هذا الموضوع؟
  3. الشرح النظري
  4. التعريفات الرياضية
  5. المعادلات
  6. مثال محلول
  7. التطبيق في الذكاء الاصطناعي
  8. المختبر التفاعلي
  9. تمارين تدريبية
  10. الملخص
  11. اختبار قصير
  12. دروس مرتبطة

1 مقدمة

بعد أن عرفنا المتجه، نحتاج إلى العمليات التي تجعل منه أداة حسابية: الجمع والضرب في عدد قياسي، ثم الجداء النقطي (Dot Product) الذي يقيس مدى توافق اتجاهين.

الأهداف التعليمية

  • جمع المتجهات وطرحها وضربها في عدد
  • حساب الجداء النقطي وتفسيره
  • حساب الزاوية والمسافة وتشابه جيب التمام

2 لماذا ندرس هذا الموضوع؟

العصبون الاصطناعي يحسب جداءً نقطياً بين متجه المدخلات ومتجه الأوزان، ثم يضيف الانحياز. ومحركات البحث الدلالي ونظم التوصية تقارن المتجهات بتشابه جيب التمام (Cosine Similarity). ولذلك فإن هذه العمليات هي أكثر ما ينفذه الحاسوب أثناء تدريب النماذج وتشغيلها.

3 الشرح النظري

الجمع والضرب في عدد

يُجمع متجهان من البعد نفسه مركبةً بمركبة: \(\mathbf{a}+\mathbf{b} = (a_1+b_1, \dots, a_n+b_n)\). والضرب في عدد قياسي \(c\) يضرب كل مركبة: \(c\mathbf{a} = (ca_1, \dots, ca_n)\)، فيغيّر الطول ويحافظ على الاتجاه أو يعكسه إذا كان \(c\) سالباً.

الجداء النقطي

الجداء النقطي عدد قياسي يساوي مجموع حواصل ضرب المركبات المتناظرة، وله صيغة هندسية تربطه بالزاوية \(\theta\) بين المتجهين:

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_i b_i = \lVert\mathbf{a}\rVert\,\lVert\mathbf{b}\rVert\cos\theta\]

إذا كان الجداء موجباً فالزاوية حادة، وإذا كان صفراً فالمتجهان متعامدان (Orthogonal)، وإذا كان سالباً فالزاوية منفرجة.

المسافة وتشابه جيب التمام

المسافة الإقليدية بين متجهين هي طول الفرق بينهما \(\lVert\mathbf{a}-\mathbf{b}\rVert\). أما تشابه جيب التمام فيقسم الجداء النقطي على حاصل ضرب الطولين، فيقيس الاتجاه فقط بقيمة بين \(-1\) و\(1\).

جمع المتجهين بقاعدة متوازي الأضلاع

4 التعريفات الرياضية

الجداء النقطي
عدد قياسي يقيس توافق اتجاه متجهين.
\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \mathbf{a}^\top\mathbf{b} = \sum_i a_i b_i\]
التعامد
يكون المتجهان متعامدين إذا كان جداؤهما النقطي صفراً.
\[\mathbf{a}\perp\mathbf{b} \iff \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0\]
تشابه جيب التمام
جيب تمام الزاوية بين متجهين غير صفريين.
\[\cos\theta = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\lVert\mathbf{a}\rVert\,\lVert\mathbf{b}\rVert}\]
الجداء النقطي (Dot Product)
عدد قياسي يساوي مجموع حواصل ضرب المركبات المتناظرة لمتجهين، ويساوي حاصل ضرب الطولين في جيب تمام الزاوية بينهما.
\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\sum_i a_ib_i\]
تشابه جيب التمام (Cosine Similarity)
مقياس لتوافق اتجاه متجهين يساوي الجداء النقطي مقسوماً على حاصل ضرب طوليهما، ويقع بين -1 و1.
\[\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\lVert\mathbf{a}\rVert\lVert\mathbf{b}\rVert}\]
المسافة الإقليدية (Euclidean Distance)
طول متجه الفرق بين نقطتين.
\[d=\lVert\mathbf{a}-\mathbf{b}\rVert_2\]

5 المعادلات

\[\mathbf{a}+\mathbf{b} = (a_1+b_1,\, \dots,\, a_n+b_n)\]
جمع المتجهات
\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \lVert\mathbf{a}\rVert\,\lVert\mathbf{b}\rVert\cos\theta\]
الصيغة الهندسية للجداء النقطي
\[d(\mathbf{a},\mathbf{b}) = \lVert \mathbf{a}-\mathbf{b} \rVert_2\]
المسافة الإقليدية

6 مثال محلول خطوة بخطوة

الجداء النقطي وتشابه جيب التمام

المسألة: ليكن \(\mathbf{a}=(1,2,3)\) و\(\mathbf{b}=(4,-1,2)\). احسب الجداء النقطي وتشابه جيب التمام.

  1. الجداء النقطي: \(1\cdot4 + 2\cdot(-1) + 3\cdot2 = 4 - 2 + 6 = 8\).
  2. الطولان: \(\lVert\mathbf{a}\rVert=\sqrt{14}\) و\(\lVert\mathbf{b}\rVert=\sqrt{21}\).
  3. التشابه: \(8/\sqrt{14\cdot 21} = 8/\sqrt{294} \approx 0.4666\).

النتيجة: \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=8\) و\(\cos\theta\approx 0.4666\)، أي أن الزاوية حادة.

7 تطبيق عملي في الذكاء الاصطناعي

  • العصبون الاصطناعي: مخرج العصبون قبل التنشيط هو \(z = \mathbf{w}\cdot\mathbf{x} + b\): جداء نقطي بين الأوزان والمدخلات.
  • البحث الدلالي: تُرتَّب الوثائق حسب تشابه جيب التمام بين تضمين السؤال وتضمينات الوثائق.
  • آلية الانتباه: درجات الانتباه في المحولات (Transformers) جداءات نقطية بين متجهات الاستعلام والمفاتيح.

8 مختبر تفاعلي مرتبط بالدرس

عمليات المتجهات (الجمع والطرح والجداء النقطي والطول والمسافة وتشابه جيب التمام)، والعمليات المصفوفية (الجمع والضرب والمنقول والمحدد والمعكوس)، والقيم والمتجهات الذاتية، وتحليل القيم المنفردة SVD مع إعادة البناء بمرتبة أقل.

افتح مختبر الجبر الخطي

9 تمارين تدريبية

أسئلة مراجعة للتفكير

  • لماذا يُفضَّل تشابه جيب التمام على المسافة الإقليدية في مقارنة النصوص أحياناً؟
  • ما الذي يحدث للجداء النقطي إذا ضاعفنا أحد المتجهين؟

أخطاء شائعة

  • جمع متجهين مختلفي البعد.
  • الاعتقاد بأن الجداء النقطي ينتج متجهاً؛ ناتجه عدد قياسي.
  • استخدام تشابه جيب التمام مع متجه صفري (القسمة على صفر).

تدرب على 6 أسئلة من بنك الأسئلة لهذا الدرس

10 ملخص الدرس

  • الجمع والضرب في عدد يتمّان مركبةً بمركبة.
  • الجداء النقطي عدد يقيس التوافق، وصفره يعني التعامد.
  • تشابه جيب التمام يقيس الاتجاه فقط ويقع بين -1 و1.

11 اختبار قصير

5 أسئلة · 10 دقائق · النجاح من 60% — اجتيازه يُكمل الدرس.