الجبر الخطي Linear Algebra
تعريف بالمسار
المتجهات والمصفوفات والمحددات والمعكوس والقيم الذاتية وتحليل القيم المنفردة: لغة تمثيل البيانات وحساب الشبكات العصبية.
الأهداف التعليمية
- تمثيل البيانات بالمتجهات والمصفوفات
- إجراء العمليات المصفوفية وتفسيرها هندسياً
- حساب المحدد والمعكوس والقيم الذاتية
- فهم SVD واستخدامه في تقليل الأبعاد
قائمة الدروس
- 1 العددية والمتجهات Scalars and Vectorsالعدد القياسي كمية مفردة، والمتجه قائمة مرتبة من الأعداد لها طول واتجاه؛ وبهما تُمثَّل الخصائص (Features) والأوزان في كل نموذج تعلم آلي.
- 2 العمليات على المتجهات Vector Operationsجمع المتجهات وطرحها وضربها في عدد، والجداء النقطي والزاوية بين متجهين والمسافة، وتشابه جيب التمام المستخدم في البحث الدلالي.
- 3 المصفوفات Matricesالمصفوفة جدول مستطيل من الأعداد بأبعاد m×n؛ نتعرف على أنواعها وجمعها وضربها في عدد وكيف تُخزَّن بها مجموعة البيانات وأوزان الطبقات.
- 4 ضرب المصفوفات Matrix Multiplicationقاعدة الصف في العمود لضرب المصفوفات، وشرط توافق الأبعاد، وعدم إبدالية الضرب، وكيف تحسب طبقة الشبكة العصبية مخرجاتها بضرب مصفوفة في متجه.
- 5 منقول المصفوفة Matrix Transposeالمنقول يبدّل الصفوف بالأعمدة؛ نتعرف على خصائصه، وعلى قاعدة منقول حاصل الضرب، وعلى دوره في كتابة الجداء النقطي ومصفوفة جرام والانتشار العكسي.
- 6 المحددات Determinantsالمحدد عدد يُستخرج من المصفوفة المربعة يقيس تغيّر المساحة أو الحجم تحت التحويل الخطي، ويحدد قابلية العكس.
- 7 معكوس المصفوفة Matrix Inverseالمعكوس يلغي أثر التحويل الخطي، ويُستخدم لحل الأنظمة الخطية وفي الحل المغلق للانحدار الخطي؛ مع التنبيه إلى أن الحل العددي العملي يتجنب حساب المعكوس صراحة.
- 8 القيم الذاتية والمتجهات الذاتية Eigenvalues and Eigenvectorsالمتجه الذاتي اتجاه لا يغيّره التحويل الخطي إلا بالتمديد أو الانكماش بمعامل هو القيمة الذاتية؛ وهما أساس تحليل المكونات الرئيسية وتحليل استقرار التدريب.
- 9 تحليل القيم المنفردة (SVD) Singular Value DecompositionSVD يكتب أي مصفوفة حاصل ضرب دوران وتمديد ودوران، ويمنح أفضل تقريب منخفض المرتبة؛ وهو أساس ضغط البيانات وPCA وأنظمة التوصية وتقنيات مثل LoRA.
التطبيقات في الذكاء الاصطناعي
- تمثيل البيانات بالمتجهات
- ضرب المصفوفات في طبقات الشبكات العصبية
- القيم الذاتية في تحليل المكونات الرئيسية
- SVD في تقليل الأبعاد وأنظمة التوصية
الاختبار النهائي للمسار
12 سؤالاً مختارة عشوائياً من بنك أسئلة المسار، الزمن 25 دقيقة، ونسبة النجاح 65%.
ابدأ الاختبار النهائي تدرب على أسئلة المسارالمراجع العلمية
- Mathematics for Machine Learning — Marc Peter Deisenroth, A. Aldo Faisal, Cheng Soon Ong (Cambridge University Press) mml-book.github.io
- Deep Learning — Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, Aaron Courville (MIT Press) www.deeplearningbook.org
- MIT OpenCourseWare — Massachusetts Institute of Technology ocw.mit.edu
