الدرس 6 من 10 · الاحتمالات والإحصاء

التوزيع الطبيعي Normal Distribution

التوزيع الطبيعي (الغاوسي) يتحدد بمتوسطه وتباينه، ويظهر بسبب مبرهنة النهاية المركزية؛ وهو أساس خسارة المربعات وتهيئة الأوزان والنماذج التوليدية.

رياضيات التعلم الآلي الصعوبة: متوسط زمن الدراسة: 45 دقيقة
محتويات الدرس
  1. مقدمة
  2. لماذا ندرس هذا الموضوع؟
  3. الشرح النظري
  4. التعريفات الرياضية
  5. المعادلات
  6. مثال محلول
  7. التطبيق في الذكاء الاصطناعي
  8. المختبر التفاعلي
  9. تمارين تدريبية
  10. الملخص
  11. اختبار قصير
  12. دروس مرتبطة

1 مقدمة

التوزيع الطبيعي (Normal أو Gaussian) منحنى جرسي متماثل حول متوسطه \(\mu\)، وعرضه يحدده الانحراف المعياري \(\sigma\).

الأهداف التعليمية

  • كتابة دالة كثافة التوزيع الطبيعي
  • تحويل القيم إلى الدرجة المعيارية z
  • تطبيق قاعدة 68–95–99.7
  • فهم مبرهنة النهاية المركزية

2 لماذا ندرس هذا الموضوع؟

تفترض خسارة المربعات ضوضاء طبيعية، وتُهيّأ الأوزان غالباً من توزيع طبيعي بتباين محسوب، وتضيف نماذج الانتشار (Diffusion) ضوضاء غاوسية ثم تتعلم إزالتها، والمشفّرات التلقائية التباينية (VAE) تستخدم توزيعاً طبيعياً كامناً.

3 الشرح النظري

دالة الكثافة

\[f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]

نكتب \(X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\). القمة عند \(\mu\)، ونقطتا الانعطاف عند \(\mu\pm\sigma\).

التوزيع المعياري

بالتحويل \(Z = (X-\mu)/\sigma\) نحصل على \(\mathcal{N}(0,1)\). وتُحسب الاحتمالات من دالته التراكمية \(\Phi\).

قاعدة 68–95–99.7

نحو 68.27% من القيم تقع ضمن انحراف معياري واحد عن المتوسط، ونحو 95.45% ضمن اثنين، ونحو 99.73% ضمن ثلاثة.

مبرهنة النهاية المركزية

متوسط عدد كبير من المتغيرات المستقلة ذات التباين المحدود يقترب توزيعه من الطبيعي مهما كان توزيعها الأصلي. لذلك يظهر التوزيع الطبيعي في أخطاء القياس وفي متوسطات التدرجات العشوائية.

المتعدد المتغيرات

\(\mathcal{N}(\mu,\Sigma)\) يعمم التوزيع إلى متجهات، وتحدد مصفوفة التغاير \(\Sigma\) شكل القطوع الناقصة لمنحنيات الكثافة.

كثافة التوزيع الطبيعي بمتوسطات وانحرافات معيارية مختلفة

4 التعريفات الرياضية

التوزيع الطبيعي
توزيع متصل متماثل جرسي الشكل معاملاه المتوسط والتباين.
\[f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]
الدرجة المعيارية
عدد الانحرافات المعيارية التي تبعدها القيمة عن المتوسط.
\[z = \frac{x-\mu}{\sigma}\]
التوزيع الطبيعي (Normal Distribution)
توزيع متصل جرسي متماثل يتحدد بالمتوسط والتباين، ويظهر بكثرة بسبب مبرهنة النهاية المركزية.
\[f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]
مبرهنة النهاية المركزية (Central Limit Theorem)
متوسط عدد كبير من المتغيرات المستقلة متماثلة التوزيع ذات التباين المحدود يقترب توزيعه من الطبيعي.
\[\sqrt{n}(\bar X_n-\mu)\to\mathcal{N}(0,\sigma^2)\]

5 المعادلات

\[f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]
كثافة التوزيع الطبيعي
\[z = \frac{x-\mu}{\sigma}\]
التحويل المعياري
\[-\log p(y\mid\hat y) = \frac{(y-\hat y)^2}{2\sigma^2} + \text{const}\]
الصلة بخسارة المربعات

6 مثال محلول خطوة بخطوة

احتمال من التوزيع الطبيعي

المسألة: درجات اختبار تتبع \(\mathcal{N}(70, 10^2)\). ما احتمال أن تزيد درجة طالب على 85؟

  1. \(z = (85 - 70)/10 = 1.5\).
  2. \(P(Z \gt 1.5) = 1 - \Phi(1.5)\).
  3. \(\Phi(1.5) \approx 0.9332\).

النتيجة: \(\approx 0.0668\)

7 تطبيق عملي في الذكاء الاصطناعي

  • خسارة المربعات: تقليل متوسط مربع الخطأ يكافئ تعظيم الإمكانية تحت افتراض ضوضاء طبيعية.
  • تهيئة الأوزان: تهيئة He تسحب الأوزان من \(\mathcal{N}(0, 2/n_{in})\) للحفاظ على تباين الإشارات.
  • نماذج الانتشار: تضيف ضوضاء غاوسية تدريجياً، وتتعلم الشبكة عكس هذه العملية.

8 مختبر تفاعلي مرتبط بالدرس

حاسبة الاحتمالات، والتوزيع الطبيعي والتوزيع ذو الحدين مع الرسم، والإحصاءات الوصفية (المتوسط والوسيط والمنوال والتباين والانحراف المعياري)، والارتباط، والمعاينة العشوائية، وحاسبة مبرهنة بايز.

افتح مختبر الاحتمالات والإحصاء

9 تمارين تدريبية

أسئلة مراجعة للتفكير

  • لماذا يظهر التوزيع الطبيعي في متوسطات الدفعات الصغيرة من التدرجات؟
  • كيف يتغير شكل المنحنى إذا ضاعفنا σ؟

أخطاء شائعة

  • الخلط بين التباين \(\sigma^2\) والانحراف المعياري \(\sigma\) في الترميز.
  • افتراض أن أي بيانات طبيعية دون فحص.
  • قراءة قيمة الكثافة عند نقطة احتمالاً.

تدرب على 5 أسئلة من بنك الأسئلة لهذا الدرس

10 ملخص الدرس

  • يتحدد التوزيع الطبيعي بـ μ وσ².
  • 68–95–99.7 ضمن 1 و2 و3 انحرافات.
  • مبرهنة النهاية المركزية تفسر شيوعه.

11 اختبار قصير

5 أسئلة · 10 دقائق · النجاح من 60% — اجتيازه يُكمل الدرس.