الدرس 1 من 5 · حساب الموترات
من العدد إلى الموتر Scalars, Vectors, Matrices and Tensors
الموتر تعميم للعدد والمتجه والمصفوفة إلى أي عدد من المحاور؛ نتعلم الرتبة والشكل والفهرسة وكيف تُمثَّل الصور والنصوص والدفعات موترات.
محتويات الدرس
1 مقدمة
في أطر التعلم العميق كل شيء موتر (Tensor): المدخلات والأوزان والتدرجات والمخرجات. الموتر في هذا السياق مصفوفة متعددة الأبعاد من الأعداد لها رتبة (عدد المحاور) وشكل (طول كل محور).
الأهداف التعليمية
- تعريف رتبة الموتر وشكله
- حساب عدد عناصر موتر من شكله
- تمثيل الصور والنصوص والدفعات موترات
- التمييز بين معنى "الموتر" في التعلم العميق وفي الفيزياء والرياضيات
2 لماذا ندرس هذا الموضوع؟
أكثر أخطاء برمجة الشبكات العصبية شيوعاً أخطاء الأشكال. فهم معنى كل محور (الدفعة، القنوات، الارتفاع، العرض، طول التسلسل، بعد التضمين) يجعل قراءة المعماريات وكتابتها وتصحيحها أسهل كثيراً.
3 الشرح النظري
سلّم الرتب
| الرتبة | الاسم | مثال | الشكل |
|---|---|---|---|
| 0 | عدد قياسي | قيمة الخسارة | () |
| 1 | متجه | متجه خصائص | (d) |
| 2 | مصفوفة | أوزان طبقة كاملة الاتصال | (m, n) |
| 3 | موتر رتبة 3 | صورة ملونة | (C, H, W) |
| 4 | موتر رتبة 4 | دفعة صور | (B, C, H, W) |
الترميز والفهرسة
نكتب \(\mathcal{T}\in\mathbb{R}^{n_1\times n_2\times\cdots\times n_k}\)، والعنصر \(\mathcal{T}_{i_1 i_2\dots i_k}\). عدد العناصر \(\prod_j n_j\). وفي الذاكرة يُخزَّن الموتر متصلاً بترتيب معين (الصف أولاً في أغلب الأطر)، و"الخطوات" (Strides) تحدد كيف ننتقل بين المحاور.
أمثلة من التعلم العميق
- دفعة صور: \((B, C, H, W)\) مثل \((32, 3, 224, 224)\).
- دفعة جمل بعد التضمين: \((B, T, d)\) مثل \((16, 128, 768)\).
- أوزان طبقة التفافية: \((C_{out}, C_{in}, k, k)\).
ملاحظة اصطلاحية
الموتر في الفيزياء والهندسة التفاضلية كائن يتحول بقواعد محددة عند تغيير الإحداثيات؛ أما في التعلم العميق فالكلمة تعني عادة مصفوفة متعددة الأبعاد فقط. سنستخدم المعنى الثاني.
4 التعريفات الرياضية
- الموتر
- مصفوفة متعددة الأبعاد من الأعداد ذات رتبة k وشكل محدد.\[\mathcal{T}\in\mathbb{R}^{n_1\times\cdots\times n_k}\]
- رتبة الموتر
- عدد محاوره (لا تُخلط برتبة المصفوفة في الجبر الخطي).\[k\]
- شكل الموتر
- قائمة أطوال محاوره.\[(n_1, n_2, \dots, n_k)\]
- الموتر (Tensor)
- مصفوفة متعددة الأبعاد من الأعداد تعمم العدد والمتجه والمصفوفة، ويُحدَّد بشكله وعدد محاوره.\[\mathcal{T}\in\mathbb{R}^{n_1\times\cdots\times n_k}\]
5 المعادلات
6 مثال محلول خطوة بخطوة
حجم دفعة صور
المسألة: دفعة من 32 صورة ملونة بدقة 224×224. ما شكل الموتر وعدد عناصره وحجمه بالبايت إذا خُزّن بدقة float32؟
- الشكل \((32, 3, 224, 224)\) والرتبة 4.
- العناصر: \(32\cdot3\cdot224\cdot224 = 4,816,896\).
- الحجم: كل عنصر 4 بايت، أي \(19,267,584\) بايت ≈ 18.4 ميغابايت.
النتيجة: 4,816,896 عنصراً، نحو 18.4 MiB
7 تطبيق عملي في الذكاء الاصطناعي
- الرؤية الحاسوبية: الصور ودفعاتها وخرائط الخصائص موترات رتبة 3 و4.
- معالجة اللغة: مخرجات طبقة التضمين موتر \((B, T, d)\).
- إدارة الذاكرة: حساب عدد عناصر الموترات يحدد حجم الدفعة الممكن على وحدة المعالجة الرسومية.
8 مختبر تفاعلي مرتبط بالدرس
شبكة صغيرة (مدخلان، طبقة مخفية بعصبونين، مخرج واحد) تُحسب كاملة داخل المتصفح: المدخلات، الأوزان والانحيازات، المجموع الموزون، دوال التنشيط، الانتشار الأمامي، الخسارة، الانتشار العكسي، حساب التدرجات مع التحقق العددي، وتحديث الأوزان.
افتح مختبر رياضيات الشبكات العصبية9 تمارين تدريبية
أسئلة مراجعة للتفكير
- ما شكل موتر يمثل 10 مقاطع فيديو كل منها 16 إطاراً ملوناً بدقة 112×112؟
- لماذا يجب الانتباه إلى ترتيب المحاور عند نقل نموذج بين إطارين؟
أخطاء شائعة
- الخلط بين رتبة الموتر (عدد المحاور) ورتبة المصفوفة (عدد الأعمدة المستقلة).
- افتراض ترتيب المحاور (القنوات أولاً أم أخيراً) دون التحقق من الإطار.
- نسيان محور الدفعة عند تمرير عينة واحدة.
10 ملخص الدرس
- الموتر مصفوفة متعددة الأبعاد لها رتبة وشكل.
- عدد العناصر حاصل ضرب أطوال المحاور.
- لكل محور معنى (دفعة، قناة، زمن...) يجب تتبعه.
11 اختبار قصير
5 أسئلة · 10 دقائق · النجاح من 60% — اجتيازه يُكمل الدرس.
