الدرس 3 من 9 · الجبر الخطي

المصفوفات Matrices

المصفوفة جدول مستطيل من الأعداد بأبعاد m×n؛ نتعرف على أنواعها وجمعها وضربها في عدد وكيف تُخزَّن بها مجموعة البيانات وأوزان الطبقات.

رياضيات التعلم الآلي الصعوبة: مبتدئ زمن الدراسة: 35 دقيقة
محتويات الدرس
  1. مقدمة
  2. لماذا ندرس هذا الموضوع؟
  3. الشرح النظري
  4. التعريفات الرياضية
  5. المعادلات
  6. مثال محلول
  7. التطبيق في الذكاء الاصطناعي
  8. المختبر التفاعلي
  9. تمارين تدريبية
  10. الملخص
  11. اختبار قصير
  12. دروس مرتبطة

1 مقدمة

المصفوفة (Matrix) ترتيب مستطيل من الأعداد في صفوف وأعمدة. إذا كان المتجه عيّنة واحدة، فالمصفوفة تجمع عينات كثيرة، أو تمثل تحويلاً خطياً يحوّل متجهاً إلى آخر.

الأهداف التعليمية

  • قراءة أبعاد المصفوفة وعناصرها
  • التعرف على المصفوفات الخاصة (المربعة، القطرية، المحايدة، المتماثلة)
  • جمع المصفوفات وضربها في عدد

2 لماذا ندرس هذا الموضوع؟

مجموعة بيانات من \(m\) عينة لكل منها \(n\) خاصية تُخزَّن في مصفوفة \(X \in \mathbb{R}^{m\times n}\). وأوزان الطبقة الكاملة الاتصال (Dense Layer) مصفوفة \(W\). والصورة الرمادية مصفوفة من شدات البكسلات.

3 الشرح النظري

التعريف والترميز

نكتب \(A \in \mathbb{R}^{m\times n}\) لمصفوفة من \(m\) صفاً و\(n\) عموداً، والعنصر في الصف \(i\) والعمود \(j\) هو \(a_{ij}\).

\[A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}\]

مصفوفات خاصة

  • المربعة: عدد صفوفها يساوي عدد أعمدتها.
  • القطرية: عناصرها خارج القطر الرئيسي أصفار.
  • المحايدة \(I\): قطرية وعناصر قطرها 1، وتحقق \(AI = IA = A\).
  • المتماثلة: تساوي منقولها، \(A = A^\top\)، مثل مصفوفة التغاير.
  • الصفرية: كل عناصرها أصفار.

الجمع والضرب في عدد

تُجمع مصفوفتان من الأبعاد نفسها عنصراً بعنصر، ويُضرب كل عنصر في العدد عند الضرب في عدد قياسي. هاتان العمليتان تجعلان المصفوفات من الأبعاد نفسها فضاءً متجهياً.

4 التعريفات الرياضية

المصفوفة
جدول مستطيل من الأعداد الحقيقية من m صفاً وn عموداً.
\[A = [a_{ij}] \in \mathbb{R}^{m\times n}\]
المصفوفة المحايدة
مصفوفة مربعة قطرها آحاد وباقي عناصرها أصفار.
\[I_n = \operatorname{diag}(1,\dots,1)\]
المصفوفة المتماثلة
مصفوفة مربعة تساوي منقولها.
\[A = A^\top\]
المصفوفة (Matrix)
ترتيب مستطيل من الأعداد في m صف وn عمود، يمثل مجموعة بيانات أو تحويلاً خطياً.
\[A \in \mathbb{R}^{m\times n}\]
المصفوفة المحايدة (Identity Matrix)
مصفوفة مربعة قطرها آحاد وباقي عناصرها أصفار، وهي العنصر المحايد لضرب المصفوفات.
\[AI = IA = A\]

5 المعادلات

\[(A+B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}\]
الجمع عنصراً بعنصر
\[(cA)_{ij} = c\,a_{ij}\]
الضرب في عدد قياسي

6 مثال محلول خطوة بخطوة

جمع مصفوفتين وضرب في عدد

المسألة: احسب \(2A + B\) حيث \(A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 2 & -1\end{bmatrix}\) و\(B = \begin{bmatrix}3 & 4 \\ 0 & 5\end{bmatrix}\).

  1. نضرب A في 2: \(2A = \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 4 & -2\end{bmatrix}\).
  2. نجمع عنصراً بعنصر مع B.

النتيجة: \(2A + B = \begin{bmatrix}5 & 4 \\ 4 & 3\end{bmatrix}\)

7 تطبيق عملي في الذكاء الاصطناعي

  • مصفوفة البيانات: كل صف عينة وكل عمود خاصية؛ ومنها تُحسب الإحصاءات وتُدرَّب النماذج دفعةً واحدة.
  • الصور: الصورة الرمادية بدقة 28×28 مصفوفة من 784 عنصراً، والصورة الملونة ثلاث مصفوفات (موتر).
  • أوزان الطبقات: طبقة تحوّل 4 مدخلات إلى 3 مخرجات أوزانها مصفوفة \(3\times 4\).

8 مختبر تفاعلي مرتبط بالدرس

عمليات المتجهات (الجمع والطرح والجداء النقطي والطول والمسافة وتشابه جيب التمام)، والعمليات المصفوفية (الجمع والضرب والمنقول والمحدد والمعكوس)، والقيم والمتجهات الذاتية، وتحليل القيم المنفردة SVD مع إعادة البناء بمرتبة أقل.

افتح مختبر الجبر الخطي

9 تمارين تدريبية

أسئلة مراجعة للتفكير

  • كيف تمثل مجموعة من 500 صورة رمادية بحجم 28×28 في مصفوفة واحدة؟
  • لماذا تكون مصفوفة التغاير متماثلة دائماً؟

أخطاء شائعة

  • قراءة الأبعاد معكوسة (أعمدة × صفوف).
  • جمع مصفوفتين مختلفتي الأبعاد.
  • الاعتقاد بأن كل مصفوفة مربعة متماثلة.

تدرب على 5 أسئلة من بنك الأسئلة لهذا الدرس

10 ملخص الدرس

  • المصفوفة m×n فيها m صفاً وn عموداً.
  • الجمع والضرب في عدد يتمّان عنصراً بعنصر.
  • المصفوفات الخاصة (المحايدة، القطرية، المتماثلة) تتكرر في التعلم الآلي.

11 اختبار قصير

5 أسئلة · 10 دقائق · النجاح من 60% — اجتيازه يُكمل الدرس.