الدرس 1 من 2 · حساب المثلثات

الدوال المثلثية ودائرة الوحدة Trigonometric Functions and the Unit Circle

الزوايا بالدرجات والراديان، وتعريف الجيب وجيب التمام والظل من المثلث القائم ودائرة الوحدة، والمتطابقة الأساسية، والدورية؛ وهي أدوات تصف الدوران والموجات.

الأساسيات الرياضية الصعوبة: مبتدئ زمن الدراسة: 40 دقيقة
محتويات الدرس
  1. مقدمة
  2. لماذا ندرس هذا الموضوع؟
  3. الشرح النظري
  4. التعريفات الرياضية
  5. المعادلات
  6. مثال محلول
  7. التطبيق في الذكاء الاصطناعي
  8. المختبر التفاعلي
  9. تمارين تدريبية
  10. الملخص
  11. اختبار قصير
  12. دروس مرتبطة

1 مقدمة

حساب المثلثات (Trigonometry) يدرس العلاقة بين الزوايا والأطوال. نبدأ من المثلث القائم ثم نعمم التعريف بدائرة الوحدة لتشمل كل الزوايا.

الأهداف التعليمية

  • التحويل بين الدرجات والراديان
  • تعريف sin وcos وtan وحسابها لزوايا شائعة
  • استخدام دائرة الوحدة
  • تطبيق المتطابقة \(\sin^2 + \cos^2 = 1\)

2 لماذا ندرس هذا الموضوع؟

الزاوية بين متجهين تُحسب بجيب التمام، ومصفوفات الدوران مبنية على الجيب وجيب التمام، والترميز الموضعي في المحولات يستخدم دوال جيبية بترددات مختلفة، ومعالجة الإشارات الصوتية تعتمد على الموجات الجيبية.

3 الشرح النظري

الراديان

الزاوية بالراديان طول القوس المقابل لها في دائرة نصف قطرها 1. الدورة الكاملة \(2\pi\) راديان = \(360^\circ\)، أي \(\theta_{rad} = \theta_{deg}\cdot\pi/180\). المكتبات البرمجية تستخدم الراديان.

المثلث القائم

للزاوية الحادة θ: \(\sin\theta = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}}\)، \(\cos\theta = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}}\)، \(\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\).

دائرة الوحدة

النقطة على دائرة الوحدة عند الزاوية θ هي \((\cos\theta, \sin\theta)\). ومنها: \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)، والدورية \(\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta\)، وإشارات الدوال في الأرباع.

θ0\(\pi/6\)\(\pi/4\)\(\pi/3\)\(\pi/2\)
sin0\(1/2\)\(\sqrt2/2\)\(\sqrt3/2\)1
cos1\(\sqrt3/2\)\(\sqrt2/2\)\(1/2\)0

مصفوفة الدوران

\[R(\theta) = \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}\]

تدير أي متجه في المستوى بزاوية θ عكس عقارب الساعة دون تغيير طوله.

الجيب وجيب التمام دالتان دوريتان دورتهما 2π

4 التعريفات الرياضية

الراديان
وحدة قياس الزاوية بطول القوس على دائرة الوحدة.
\[\pi\,\text{rad} = 180^\circ\]
دائرة الوحدة
دائرة نصف قطرها 1 مركزها الأصل؛ إحداثيات نقطها \((\cos\theta, \sin\theta)\).
\[x^2 + y^2 = 1\]
المتطابقة الفيثاغورية
العلاقة الأساسية بين الجيب وجيب التمام.
\[\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\]
الراديان (Radian)
وحدة قياس الزوايا تساوي طول القوس على دائرة الوحدة؛ والدورة الكاملة 2π.
\[\pi\,\text{rad}=180^\circ\]

5 المعادلات

\[\theta_{rad} = \theta_{deg}\cdot\frac{\pi}{180}\]
التحويل
\[\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\]
المتطابقة الأساسية
\[R(\theta) = \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}\]
مصفوفة الدوران

6 مثال محلول خطوة بخطوة

دوران متجه

المسألة: أدر المتجه \((1, 0)\) بزاوية \(60^\circ\).

  1. \(60^\circ = \pi/3\).
  2. \(R(\pi/3)(1,0)^\top = (\cos\frac\pi3, \sin\frac\pi3)\).
  3. \(= (0.5, \sqrt3/2) \approx (0.5, 0.866)\).

النتيجة: \((0.5, 0.866)\)، وطوله ما زال 1.

7 تطبيق عملي في الذكاء الاصطناعي

  • الزاوية بين المتجهات: تشابه جيب التمام في البحث الدلالي هو \(\cos\theta\) بين متجهين.
  • تكبير البيانات: تدوير الصور بزوايا عشوائية يُنفذ بمصفوفات الدوران.
  • الإشارات: الصوت يُحلَّل إلى مكونات جيبية بترددات مختلفة.

8 مختبر تفاعلي مرتبط بالدرس

عمليات المتجهات (الجمع والطرح والجداء النقطي والطول والمسافة وتشابه جيب التمام)، والعمليات المصفوفية (الجمع والضرب والمنقول والمحدد والمعكوس)، والقيم والمتجهات الذاتية، وتحليل القيم المنفردة SVD مع إعادة البناء بمرتبة أقل.

افتح مختبر الجبر الخطي

9 تمارين تدريبية

أسئلة مراجعة للتفكير

  • لماذا تحافظ مصفوفة الدوران على طول المتجه؟
  • ما قيمة \(\cos\pi\) وما معناها هندسياً؟

أخطاء شائعة

  • استخدام الدرجات في دالة برمجية تتوقع الراديان.
  • الخلط بين \(\sin^2\theta\) و\(\sin(\theta^2)\).
  • نسيان إشارة الدالة في الأرباع غير الأول.

تدرب على 5 أسئلة من بنك الأسئلة لهذا الدرس

10 ملخص الدرس

  • \(\pi\) راديان = 180°.
  • على دائرة الوحدة النقطة \((\cos\theta, \sin\theta)\).
  • \(\sin^2 + \cos^2 = 1\).

11 اختبار قصير

5 أسئلة · 10 دقائق · النجاح من 60% — اجتيازه يُكمل الدرس.