الدرس 7 من 7 · التفاضل والتكامل
التكامل Integrals
التكامل المحدد يجمع كميات متناهية الصغر فيعطي المساحة تحت المنحنى، وفي التعلم الآلي يحسب الاحتمالات من دوال الكثافة والقيم المتوقعة.
محتويات الدرس
1 مقدمة
إذا كانت المشتقة تفكك الدالة إلى معدلات تغير، فالتكامل (Integral) يعيد تجميعها. التكامل المحدد \(\int_a^b f(x)\,dx\) هو المساحة الموجَّهة تحت المنحنى بين \(a\) و\(b\).
الأهداف التعليمية
- فهم التكامل المحدد مجموعاً لريمان
- تطبيق المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل
- حساب تكاملات بسيطة تحليلياً
- تقريب التكامل عددياً بشبه المنحرف وسمبسون
2 لماذا ندرس هذا الموضوع؟
في الاحتمالات المتصلة لا معنى لاحتمال قيمة واحدة؛ نحسب الاحتمال بتكامل دالة الكثافة على فترة. والقيمة المتوقعة والتباين وتباعد KL للتوزيعات المتصلة كلها تكاملات. والنماذج التوليدية الحديثة تقدّر تكاملات صعبة بطرق مونت كارلو.
3 الشرح النظري
مجموع ريمان
نقسم \([a,b]\) إلى \(n\) فترة عرض كل منها \(\Delta x\)، ونجمع \(f(x_i)\Delta x\). نهاية هذا المجموع عندما \(n\to\infty\) هي التكامل المحدد.
\[\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x\]
المبرهنة الأساسية
إذا كانت \(F' = f\) فإن \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\). فالتكامل عكس الاشتقاق، و\(F\) تسمى دالة أصلية (Antiderivative).
قواعد أساسية
| الدالة | الدالة الأصلية |
|---|---|
| \(x^n,\; n\neq-1\) | \(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) |
| \(1/x\) | \(\ln|x| + C\) |
| \(e^x\) | \(e^x + C\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x + C\) |
التكامل العددي
عندما لا توجد دالة أصلية بصيغة مغلقة (مثل \(e^{-x^2}\)) نستخدم طرقاً عددية: قاعدة شبه المنحرف تصل النقاط بخطوط مستقيمة، وقاعدة سمبسون بقطوع مكافئة فتكون أدق للدوال الملساء.
4 التعريفات الرياضية
- التكامل المحدد
- نهاية مجموع ريمان، ويمثل المساحة الموجَّهة تحت المنحنى.\[\int_a^b f(x)\,dx\]
- الدالة الأصلية
- دالة F مشتقتها تساوي f.\[F'(x) = f(x)\]
- قاعدة شبه المنحرف
- تقريب عددي للتكامل بجمع مساحات أشباه منحرفات.\[\int_a^b f\,dx \approx \frac{\Delta x}{2}\Big[f(x_0) + 2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i) + f(x_n)\Big]\]
- التكامل المحدد (Definite Integral)
- نهاية مجموع ريمان على فترة، ويمثل المساحة الموجَّهة تحت المنحنى، ويُحسب بالدالة الأصلية.\[\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)\]
5 المعادلات
6 مثال محلول خطوة بخطوة
تكامل تحليلي وتقريب عددي
المسألة: احسب \(\int_0^3 x^2\,dx\) تحليلياً، ثم قرّبه بقاعدة شبه المنحرف بست فترات.
- الدالة الأصلية \(x^3/3\).
- \(\frac{27}{3} - 0 = 9\).
- شبه المنحرف: \(\Delta x = 0.5\) والنقاط \(0, 0.5, \dots, 3\).
- التقريب \(\approx 9.125\)، والخطأ \(0.125\) لأن الدالة محدبة فتقع الأوتار فوق المنحنى.
النتيجة: القيمة الدقيقة 9 وتقريب شبه المنحرف \(9.125\)
7 تطبيق عملي في الذكاء الاصطناعي
- الاحتمالات المتصلة: احتمال وقوع متغير طبيعي في فترة تكامل لدالة كثافته.
- القيمة المتوقعة للخسارة: المخاطرة المتوقعة تكامل للخسارة على توزيع البيانات، ونقرّبها بالمتوسط على عينة التدريب.
- تقدير مونت كارلو: نقرّب \(\mathbb{E}[f(X)]\) بمتوسط \(f\) على عينات عشوائية، وهو أساس طرق كثيرة في النماذج التوليدية والتعلم المعزز.
8 مختبر تفاعلي مرتبط بالدرس
رسم الدوال، وحساب المشتقة عددياً ورسم المماس، والمشتقات الجزئية والتدرج لدالة بمتغيرين، وعرض قاعدة السلسلة خطوة بخطوة، والتكامل العددي بطريقتي شبه المنحرف وسمبسون.
افتح مختبر التفاضل والتكامل9 تمارين تدريبية
أسئلة مراجعة للتفكير
- لماذا يساوي احتمال قيمة واحدة بعينها صفراً في التوزيع المتصل؟
- متى نلجأ إلى التكامل العددي بدلاً من التحليلي؟
أخطاء شائعة
- نسيان ثابت التكامل في التكامل غير المحدد.
- تطبيق قاعدة القوة على \(1/x\).
- تفسير التكامل مساحةً موجبة دائماً، مع أن المساحة تحت المحور تُحسب سالبة.
10 ملخص الدرس
- التكامل المحدد نهاية مجموع ريمان.
- المبرهنة الأساسية تربط التكامل بالاشتقاق.
- الاحتمالات والتوقعات في التوزيعات المتصلة تكاملات.
11 اختبار قصير
5 أسئلة · 10 دقائق · النجاح من 60% — اجتيازه يُكمل الدرس.
