التفاضل والتكامل Calculus

تعريف بالمسار

الأهداف التعليمية

• حساب النهايات والمشتقات
• تطبيق قاعدة السلسلة والمشتقات الجزئية
• حساب التدرج وتفسير اتجاهه
• حساب التكامل عددياً وتحليلياً

قائمة الدروس

1. 1 النهايات Limitsالنهاية تصف القيمة التي تقترب منها الدالة كلما اقترب المتغير من نقطة ما، وهي الأساس الذي يُعرَّف به الاتصال والمشتقة والتكامل. مبتدئ · 40 د
2. 2 الاتصال Continuityالدالة المتصلة لا قفزات فيها ولا ثقوب؛ نتعرف على شروط الاتصال وأنواع الانقطاع، ولماذا نفضّل دوال خسارة وتنشيط متصلة وقابلة للاشتقاق. مبتدئ · 30 د
3. 3 المشتقات Derivativesالمشتقة معدل التغير اللحظي وميل المماس؛ نتعلم تعريفها بالنهاية وقواعد الاشتقاق ومشتقات دوال التنشيط الشائعة. متوسط · 50 د
4. 4 المشتقات الجزئية Partial Derivativesللدوال متعددة المتغيرات نشتق بالنسبة إلى متغير واحد مع تثبيت البقية؛ وهكذا نعرف أثر كل وزن على الخسارة بمعزل عن غيره. متوسط · 45 د
5. 5 قاعدة السلسلة Chain Ruleقاعدة السلسلة تشتق الدوال المركّبة بضرب المشتقات المحلية، وهي الرياضيات التي يقوم عليها الانتشار العكسي (Backpropagation) في كل شبكة عصبية. متوسط · 55 د
6. 6 التدرج Gradientsالتدرج متجه المشتقات الجزئية، ويشير إلى اتجاه أشد صعود للدالة؛ والسير عكسه هو جوهر الانحدار التدرجي الذي تُدرَّب به النماذج. متوسط · 45 د
7. 7 التكامل Integralsالتكامل المحدد يجمع كميات متناهية الصغر فيعطي المساحة تحت المنحنى، وفي التعلم الآلي يحسب الاحتمالات من دوال الكثافة والقيم المتوقعة. متوسط · 45 د

التطبيقات في الذكاء الاصطناعي

• المشتقات في تحسين النماذج
• قاعدة السلسلة في Backpropagation
• التدرج في تحديث الأوزان

المراجع العلمية

1. Mathematics for Machine Learning — Marc Peter Deisenroth, A. Aldo Faisal, Cheng Soon Ong (Cambridge University Press) mml-book.github.io
2. Deep Learning — Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, Aaron Courville (MIT Press) www.deeplearningbook.org
3. MIT OpenCourseWare — Massachusetts Institute of Technology ocw.mit.edu